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数学
 
誤答例・評価基準つき
スッキリわかる複素関数論

book

発売日:2007.10.05発売
定価:本体2,800円+税

 

ほとんどの定理に丁寧な証明がつけてあります。加えて130問以上の演習問題を用意し「教科書+演習書」として最適です。

本書は重要なポイントが一目でわかり直感的な理解が出来るように、説明と紙面デザインを工夫した「スッキリ数学シリーズ」の第4弾です。「応用解析」の教科書として複素関数論とフーリエ解析の導入までを単に知識の提供ではなく、その概念がしっかり身につくことを目標とした1冊です。高校の新課程を配慮し複素数の入門から解説。同シリーズの「スッキリわかる微分方程式とベクトル解析」とあわせ理工系学生に必要な応用解析の基礎分野をカバーしました。

 
著者 皆本 晃弥(佐賀大学准教授)
ページ数 332
サイズ A5
ISBN 978-4-7649-1050-8
     
主要目次

第0章 本書のあらすじと読み方
 0.1 複素関数論の目的と本書のあらすじ
 0.2 本書の読み方と数学の勉強法

第1章複素数とその性質
 1.1 複素数
 1.2 複素数の極形式
 1.3 複素数の図示
  1.3.1 和と差の図示
  1.3.2 積と商の図示
  1.3.3 共役複素数の図示
  1.3.4逆数1/zの図示
 1.4複素数と図形
  1.4.1距離と図形
  1.4.2円と直線の方程式
  1.4.3三角形の相似条件
1.5 乗根
1.6 ハミルトンによる複素数の導入

第2章 複素関数
 2.1 複素数列
 2.2 リーマン球面
 2.3 複素級数
 2.4 複素関数
 2.5 領域
 2.6 複素関数の収束
 2.7 連続関数

第3章 正則関数
 3.1 正則関数
 3.2 コーシー・リーマンの方程式
 3.3 正則関数の基本的な性質
 3.4 調和関数
 3.5 正則関数の幾何学的な意味
 3.6 等角写像

第4章 整級数と初等関数
 4.1 整級数
  4.1.1 整級数と収束半径
  4.1.2 収束半径の求め方
  4.1.3 極限の順序交換
  4.1.4 一様収束
  4.1.5 整級数の一様収束性
  4.1.6 整級数の微分可能性
  4.1.7 高階導関数の存在と整級数の一意性
  4.1.8 整級数の一次結合と積
 4.2 初等関数
  4.2.1 指数関数
  4.2.2 e=e^2による対応
  4.2.3 オイラーの公式は美しい?
  4.2.4 三角関数
  4.2.5 双曲線関数
  4.2.6 対数関数
  4.2.7 べき乗関数
  4.2.8 リーマン面

第5章 複素積分
 5.1 曲線
 5.2 複素積分
 5.4 不定積分
 5.5 グリーンの公式
 5.6 コーシーの積分定理
 5.7 コーシーの積分定理の証明
 5.8 コーシーの積分公式
 5.9 コーシーの積分公式に関連する諸結果
  5.9.1 モレラの定理
  5.9.2 リュービルの定理
  5.9.3 代数学の基本定理
  5.9.4 正則関数列と項別微分

第6章 関数の整級数展開
 6.1 テイラー展開
 6.2 ローラン展開
 6.3 孤立特異点
  6.3.1 除去可能な特異点
  6.3.2 極
  6.3.3 真性特異点
 6.4 無限遠点におけるローラン展開
 6.5 一致の定理
 6.6 解析接続
 6.7 最大値の原理

第7章 留数と実積分への応用
 7.1 留数
 7.2 実積分の計算
  7.2.1 留数定理を利用した実積分の計算
  7.2.2 コーシーの積分定理を利用した実積分の計算
  7.2.3 コーシーの主値積分

第8章 フーリエ解析
 8.1 フーリエ級数
 8.2 フーリエ級数の収束性
 8.3 正弦・余弦級数
 8.4 一般の周期関数に対するフーリエ級数
 8.5 複素フーリエ級数
 8.6 フーリエ解析の意義
 8.7 フーリエ変換
 8.8 留数によるフーリエ変換の計算

 演習問題の解答

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